题目内容
【题目】在直三棱柱中,
,∠ACB=90°,M是
的中点,N是
的中点.
(Ⅰ)求证:MN∥平面;
(Ⅱ)求二面角的余弦值.
【答案】(Ⅰ)见解析;(Ⅱ) .
【解析】试题分析:(1)找中点构造平行四边形,然后根据线面平行的判定定理证明线面平行(2)要求二面角的余弦值应该先找出二面角的平面角,本题可以先找出要求角的补角,求出补角的余弦值,再求结果
解析:(Ⅰ)如图所示,取B1C1中点D,连结ND、A1D ∴DN∥BB1∥AA1
又DN= ∴四边形A1MND为平行四边形。
∴MN∥A1 D 又MN 平面A1B1C1,AD1
平面A1B1C1 ∴MN∥平面
-
(Ⅱ)在平面ACC1A1上作CE⊥C1M交C1M于点E,A1C1于点F,
则CE为BE在平面ACC1A1上的射影,∴BE⊥C1M, ∴∠BEF为二面角B-C1M-A的平面角,
在等腰三角形CMC1中,CE=C1H=,∴tan∠BEC=
∴ cos∠BEC=.
二面角的平面角与∠BEC互补,所以二面角
的余弦值为
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