Question

如图，棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面ABCD为菱形，平面AA₁C₁C⊥平面ABCD．
（1）证明：BD⊥AA₁；
（2）证明：平面AB₁C//平面DA₁C₁
（3）在直线CC₁上是否存在点P，使BP//平面DA₁C₁？若存在，求出点P的位置；若不存在，说明理由．

Answer 1

（1）证明见解析。
（2）证明见解析。
（3）存在

证明：（1）连BD，∵面ABCD为菱形，∴BD⊥AC
由于平面AA₁C₁C⊥平面ABCD，
则BD⊥平面AA₁C₁C 故： BD⊥AA₁
（2）连AB₁，B₁C，由棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的性质知
AB₁//DC₁，AD//B₁C，AB₁∩B₁C=B₁,A₁D∩DC₁=D
由面面平行的判定定理知：平面AB₁C//平面DA₁C₁
（3）存在这样的点P
因为A₁B₁∥AB∥DC，∴四边形A₁B₁CD为平行四边形．
∴A₁D//B₁C
在C₁C的延长线上取点P，使C₁C=CP，连接BP，
因B₁B∥CC₁，∴BB₁∥CP，∴四边形BB₁CP为平行四边形
则BP//B₁C，∴BP//A₁D∴BP//平面DA₁C₁