Question

20．在四棱锥P-ABCD中，BP=BC，AB⊥平面PBC，AB∥CD，AB=$\frac{1}{2}$DC，E为PD中点，求证：AE⊥平面PDC．

Answer 1

分析 取PC的中点M，连接EM，证明AE∥BM，证明CD⊥BM．推出BM⊥平面PDC，然后证明AE⊥平面PDC．

解答 证明：取PC的中点M，连接EM，…（2分）
则EM∥CD，EM=$\frac{1}{2}$DC，所以有EM∥AB且EM=AB，
则四边形ABME是平行四边形．所以AE∥BM，
因为AB⊥平面PBC，AB∥CD，所以CD⊥平面PBC，
所以CD⊥BM．
由因为BM⊥PC，所以BM⊥平面PDC，
又AE∥BM，所以AE⊥平面PDC…（14分）

点评 本题考查直线与平面的平行，直线与平面垂直，考查判定定理的应用，逻辑推理能力．