Question

已知曲线E上任意一点P到两个定点F₁(－，0)和F₂(，0)的距离之和为4．
(1)求曲线E的方程；
(2)设过点(0，－2)的直线l与曲线E交于C、D两点，且·＝0(O为坐标原点)，求直线l的方程．

Answer 1

（1）＋y²＝1
（2）y＝2x－2或y＝－2x－2

(1)根据椭圆的定义，可知动点P的轨迹为椭圆，其中a＝2，c＝，∴b＝＝1．
∴曲线E的方程为＋y²＝1．
(2)当直线l的斜率不存在时，不满足题意，当直线l的斜率存在时，设l的方程为y＝kx－2，
设C(x₁，y₁)，D(x₂，y₂)，
∵·＝0，∴x₁x₂＋y₁y₂＝0，
由方程组，得(1＋4k²)x²－16kx＋12＝0，
∴x₁＋x₂＝，x₁x₂＝，
又∵y₁·y₂＝(kx₁－2)(kx₂－2)＝k²x₁x₂－2k(x₁＋x₂)＋4，
∴x₁x₂＋y₁y₂＝(1＋k²)x₁x₂－2k(x₁＋x₂)＋4＝－＋4＝0，
解得k²＝4，即k＝2或k＝－2，
所以，直线l的方程是y＝2x－2或y＝－2x－2．