Question

2．已知定圆C：x²+（y-3）²=4，定直线m：x+3y+6=0，过A（-1，0）的一条动直线l与圆C相交于P，Q两点．
（Ⅰ）如果l过圆心C，求证：l与m垂直；
（Ⅱ）当|PQ|=2$\sqrt{3}$时，求直线l的方程；
（Ⅲ）设N为圆C上的一个动点，求线段AN的中点M的轨迹方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）运用两直线垂直的条件：斜率之积为-1即可证明；
（Ⅱ）由|PQ|=2$\sqrt{3}$得圆心C到直线l的距离d=1，设直线l的方程为x-ny+1=0，求得n的值，可得直线l的方程；
（Ⅲ）利用代入法，即可求线段AN的中点M的轨迹方程．

解答 解：（Ⅰ）因为l过圆心C，所以直线l的斜率是$\frac{3-0}{0+1}$=3
因为直线m：x+3y+6=0的斜率为-$\frac{1}{3}$，
所以直线l的斜率为3，
所以l与m垂直；
（Ⅱ）由|PQ|=2$\sqrt{3}$，得圆心C到直线l的距离d=1，
设直线l的方程为x-ny+1=0，则由d=$\frac{|1-3n|}{\sqrt{1+{n}^{2}}}$=1．
解得n=0，或n=$\frac{3}{4}$，
所以直线l的方程为x+1=0或4x-3y+4=0．
（Ⅲ）设N（a，b），M（x，y），则2x=a-1，2y=b，
∴a=2x+1，b=2y，
∵a²+（b-3）²=4，
∴（2x+1）²+（2y-3）²=4
∴线段AN的中点M的轨迹方程是（x+$\frac{1}{2}$）²+（y-$\frac{3}{2}$）²=1．

点评 本题主要考查两条直线垂直的性质，点到直线的距离公式，以及代入法求轨迹方程，属于中档题．