Question

已知，直线，为平面上的动点，过点作的垂线，垂足为点，且．
（1）求动点的轨迹曲线的方程；
（2）设动直线与曲线相切于点，且与直线相交于点，试探究：在坐标平面内是否存在一个定点，使得以为直径的圆恒过此定点？若存在，求出定点的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

（1）动点的轨迹曲线的方程为；（2）存在一个定点符合题意.

解析试题分析：（1）先设点，则，由，易得动点的轨迹曲线的方程；（2）把直线方程和抛物线方程联立，消去，因为相切等价于，得；从而可得点的坐标，写出以为直径的圆的方程，即可得存在一个定点符合题意．
试题解析： （1）设点，则，由，得
，化简得．
（2）由得，
由，得，从而有,，
则以为直径的圆的方程为，
整理得，
由得，
所以存在一个定点符合题意.
考点：向量的数量积、直线与圆锥曲线的位置关系、转化思想.