Question

在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面是边长为2

3

的正三角形，点A₁在底面ABC上的射影O恰是BC的中点．
（1）求证：A₁A⊥BC；
（2）当侧棱AA₁和底面成45°角时，求二面角A₁-AC-B的余弦值．

Answer 1

分析：（1）根据三垂线定理证明线线垂直即可；
（2）利用三垂线定理作二面角的平面角，再解三角形求解．

解答：解：（1）证明：连接AO，
A₁O⊥面ABC，AO是A₁A在面ABC的射影，∵AO⊥BC，
由三垂线定理，A₁A⊥BC．
（2）由（1）知，∠A₁AO为AA₁与底面所成的角，∴∠A₁AO=45° 
∵底面是边长为2

3

的正三角形，∴AO=3
∴A₁O=3，AA₁=3

2

过O作OE⊥AC于E，连接A₁E，由三垂线定理得A₁E⊥AC，
∴∠A₁EO为二面角A₁-AC-B的平面角
∵OE=

3

2

，∴tan∠A₁EO=

A1O

OE

=2，
cos∠A₁EO=

5

5

即二面角A₁-AC-B的余弦值为

5

5

．

点评：本题考查线面垂直的性质及二面角的平面角．可利用三垂线定作二面角的平面角．