Question

3．斜率为k（k＞0）的直线l与抛物线C：y²=4x交于A，B两点，O为原点，M是线段AB的中点，F为C的焦点，△OFM的面积等于2，则k=$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 利用△OFM的面积等于2，求出M的纵坐标，设直线l的方程为x=my+b，代入y²=4x可得y²-4my-4b=0，利用韦达定理，求出m，即可求出k的值．

解答 解：设M（x，y）（y＞0），则
由抛物线C：y²=4x，可得F（1，0），
∵△OFM的面积等于2，
∴$\frac{1}{2}•1•|y|$=2，
∴y=4，
设直线l的方程为x=my+b，代入y²=4x可得y²-4my-4b=0，
设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），则y₁+y₂=4m，
∴2m=4，
∴m=2，
∴k=$\frac{1}{m}$=$\frac{1}{2}$．
故答案为：$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查直线与抛物线的位置关系，考查三角形面积的计算，考查韦达定理的运用，属于中档题．