题目内容

抛物线y2=2px(p>0),其准线方程为x=-1,过准线与x轴的交点M做直线l交抛物线于A、B两点.
(Ⅰ)若点A为MB中点,求直线l的方程;
(Ⅱ)设抛物线的焦点为F,当AF⊥BF时,求△ABF的面积.
(本小题满分13分)
(Ⅰ)∵抛物线的准线方程为x=-1
p
2
=1,p=2
-----------------------(1分)
∴抛物线的方程为y2=4x-----------------------(2分)
显然,直线l与坐标轴不平行
∴设直线l的方程为x=my-1,A(
y21
4
y1)B(
y22
4
y2)
-----------------------(3分)
联立直线与抛物线的方程
x=my-1
y2=4x
,得y2-4my+4=0-----------------------(4分)
△=16m2-16>0,解得m<-1或m>1-----------------------(5分)
∵点A为MB中点,∴y1=
0+y2
2
,即y2=2y1
y1y2=2y12=4,解得y1
2
-----------------------(6分)
y1+y2=4m,∴4m=
2
+2
2
4m=-
2
-2
2

m=±
3
4
2
-----------------------(7分)
直线方程为4x-3
2
y+4=0
4x+3
2
y+4=0
.-----------------------(8分)
(Ⅱ)焦点F(1,0),
FA
=(
y21
4
-1,y1),
FB
=(
y22
4
-1,y2)

∵AF⊥BF
FA
FB
=
y21
4
y22
4
-
y21
4
-
y22
4
+1+y1y2
=
y21
y22
16
-
y21
+
y22
4
+1+y1y2
=8-
(y1+y2)2
4
=0

(y1+y2)2=32-----------------------(11分)
S△ABF=S△MBF-S△AMF=
1
2
|MF|•|y2|-
1
2
|MF|•|y1|
=|y2|-|y1|=
(y1+y2)2-4y1y2
=4
-----------------------(13分)
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