题目内容
抛物线y2=2px(p>0),其准线方程为x=-1,过准线与x轴的交点M做直线l交抛物线于A、B两点.
(Ⅰ)若点A为MB中点,求直线l的方程;
(Ⅱ)设抛物线的焦点为F,当AF⊥BF时,求△ABF的面积.
(Ⅰ)若点A为MB中点,求直线l的方程;
(Ⅱ)设抛物线的焦点为F,当AF⊥BF时,求△ABF的面积.
(本小题满分13分)
(Ⅰ)∵抛物线的准线方程为x=-1
∴
=1,p=2-----------------------(1分)
∴抛物线的方程为y2=4x-----------------------(2分)
显然,直线l与坐标轴不平行
∴设直线l的方程为x=my-1,A(
,y1)B(
,y2)-----------------------(3分)
联立直线与抛物线的方程
,得y2-4my+4=0-----------------------(4分)
△=16m2-16>0,解得m<-1或m>1-----------------------(5分)
∵点A为MB中点,∴y1=
,即y2=2y1
∴y1y2=2y12=4,解得y1=±
-----------------------(6分)
y1+y2=4m,∴4m=
+2
或4m=-
-2
∴m=±
-----------------------(7分)
直线方程为4x-3
y+4=0或4x+3
y+4=0.-----------------------(8分)
(Ⅱ)焦点F(1,0),
=(
-1,y1),
=(
-1,y2)
∵AF⊥BF
∴(y1+y2)2=32-----------------------(11分)
-----------------------(13分)
(Ⅰ)∵抛物线的准线方程为x=-1
∴
p |
2 |
∴抛物线的方程为y2=4x-----------------------(2分)
显然,直线l与坐标轴不平行
∴设直线l的方程为x=my-1,A(
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4 |
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4 |
联立直线与抛物线的方程
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△=16m2-16>0,解得m<-1或m>1-----------------------(5分)
∵点A为MB中点,∴y1=
0+y2 |
2 |
∴y1y2=2y12=4,解得y1=±
2 |
y1+y2=4m,∴4m=
2 |
2 |
2 |
2 |
∴m=±
3 |
4 |
2 |
直线方程为4x-3
2 |
2 |
(Ⅱ)焦点F(1,0),
FA |
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4 |
FB |
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4 |
∵AF⊥BF
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∴(y1+y2)2=32-----------------------(11分)
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