题目内容

在直线y=x-2上是否存在点P，使得经过点P能作出抛物线y=
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x2的两条互相垂直的切线？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．
假设这样的点P存在，由题意可设点P坐标为P（m，m-2），又设所作的两条切线为PA，PB，其中A，B为切点，且点A，B的坐标分别为：A(a，
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a2)，B(b，
1
2
b2)．
因为函数y=
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x2的导函数为y'=x，
所以由两切线垂直可得ab=-1，
且：
1
2
a2-(m-2)
a-m
=a
1
2
b2-(m-2)
b-m
=b
即，
a2-2ma+2(m-2)=0
b2-2mb+2(m-2)=0
．
故a，b是方程x2-2mx+2（m-2）=0的两实数根，
从而有：ab=2（m-2）=-1．解得：m=
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．
所以，存在这样的点P，其坐标为P(
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，-
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)．
练习册系列答案
相关题目
已知：椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），过点A（-a，0），B（0，b）的直线倾斜角为
π
6
，原点到该直线的距离为
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．
（1）求椭圆的方程；
（2）斜率大于零的直线过D（-1，0）与椭圆交于E，F两点，若
ED
=2
DF
，求直线EF的方程；
（3）是否存在实数k，直线y=kx+2交椭圆于P，Q两点，以PQ为直径的圆过点D（-1，0）？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．
已知椭圆
x2
4
+y2=1，过点M（-1，0）作直线l交椭圆于A，B两点，O是坐标原点．
（1）求AB中点P的轨迹方程；
（2）求△OAB面积的最大值，并求此时直线l的方程．
已知抛物线C的方程为x2=2py（p＞0），焦点F为（0，1），点P（x1，y1）是抛物线上的任意一点，过点P作抛物线的切线交抛物线的准线l于点A（s，t）．
（1）求抛物线C的标准方程；
（2）若x1∈[1，4]，求s的取值范围．
（3）过点A作抛物线C的另一条切线AQ，其中Q（x2，y2）为切点，试问直线PQ是否恒过定点，若是，求出定点；若不是，请说明理由．
过点A（0，2）可以作 ______条直线与双曲线x2-
y2
4
=1有且只有一个公共点．
设点F(0，
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)，动圆P经过点F且和直线y=-
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相切．记动圆的圆心P的轨迹为曲线W．
（Ⅰ）求曲线W的方程；
（Ⅱ）过点F作互相垂直的直线l1，l2，分别交曲线W于A，B和C，D．求四边形ACBD面积的最小值．
若椭圆E1：
x2
a21
+
y2
b21
=1和椭圆E2：
x2
a22
+
y2
b22
=1满足
a2
a1
=
b2
b1
=m(m＞0)，则称这两个椭圆相似，m是相似比．
（Ⅰ）求过（2，
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)且与椭圆
x2
4
+
y2
2
=1相似的椭圆的方程；
（Ⅱ）设过原点的一条射线l分别与（Ⅰ）中的两椭圆交于A、B两点（点A在线段OB上）．
①若P是线段AB上的一点，若|OA|，|OP|，|OB|成等比数列，求P点的轨迹方程；
②求|OA|•|OB|的最大值和最小值．
【理科】抛物线顶点在原点，焦点是圆x2+y2-4x=0的圆心．
（1）求抛物线的方程；
（2）直线l的斜率为2，且过抛物线的焦点，与抛物线交于A、B两点，求弦AB的长；
（3）过点P（1，1）引抛物线的一条弦，使它被点P平分，求这条弦所在的直线方程．
抛物线y2=2px（p＞0），其准线方程为x=-1，过准线与x轴的交点M做直线l交抛物线于A、B两点．
（Ⅰ）若点A为MB中点，求直线l的方程；
（Ⅱ）设抛物线的焦点为F，当AF⊥BF时，求△ABF的面积．

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