Question

3．如图所示，在直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，DB=BC，DB⊥AC，点M是棱BB₁上的一点．
（1）求证：B₁D₁∥平面A₁BD；
（2）求证：MD⊥AC；
（3）是否存在点M，使得平面DMC₁⊥平面CC₁D₁D？若存在，试确定点M的位置，并给出证明；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）容易说明B₁D₁∥BD，从而根据线面平行的判定定理得出B₁D₁∥平面A₁BD；
（2）可以得到AC⊥BB₁，而根据条件AC⊥BD，从而可得到AC⊥平面BB₁D，从而便得出MD⊥AC；
（3）可以看出当M为棱BB₁的中点时，平面DMC₁⊥平面CC₁D₁D，可取DC的中点N，D₁C₁的中点N₁，连接NN₁交DC₁于O，连接OM，BN，B₁N₁，可以说明O为NN₁的中点，四边形CC₁N₁N为平行四边形，从而得出MO∥BN，而容易说明BN⊥平面CC₁D₁D，从而有MO⊥平面CC₁D₁D，从而便可得出平面DMC₁⊥平面CC₁D₁D．

解答 解：（1）证明：由几何体ABCD-A₁B₁C₁D₁是直四棱柱；
∴BB₁∥DD₁，BB₁=DD₁；
∴四边形BB₁D₁D是平行四边形；
∴B₁D₁∥BD，BD?平面A₁BD，B₁D₁?平面A₁BD；
∴B₁D₁∥平面A₁BD；
（2）证明：∵BB₁⊥平面ABCD，AC?平面ABCD；
∴BB₁⊥AC；
又∵DB⊥AC，即AC⊥DB，且BB₁∩DB=B；
∴AC⊥平面BB₁D，MD?平面BB₁D；
∴MD⊥AC；
（3）当点M为棱BB₁的中点时，平面DMC₁⊥平面CC₁D₁D，证明如下：
如图，取DC的中点N，D₁C₁的中点N₁，连接NN₁交DC₁于O，连接OM，BN，B₁N₁；

∵N是DC的中点，BD=BC；
∴BN⊥DC；
又∵CC₁⊥平面ABCD，BN?平面ABCD；
∴BN⊥CC₁，CC₁∩DC=C；
∴BN⊥平面DCC₁D₁；
C₁N₁=DN，∴△C₁N₁O≌△DNO；
∴O是NN₁的中点，且四边形BB₁N₁N是平行四边形；
∴BN∥OM；
∴OM⊥平面CC₁D₁D；
∵OM?平面DMC₁；
∴平面DMC₁⊥平面CC₁D₁D；
即存在点M为BB₁的中点，使得平面DMC₁⊥平面CC₁D₁D．

点评 考查平行四边形的定义，线面平行的判定定理，线面垂直的判定定理，三角形全等的概念，线面垂直的性质，以及面面垂直的判定定理．