Question

15．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，-π＜φ＜0）．
（1）若f（x）的部分图象如图所示，求f（x）的解折式；
（2）在（1）的条件下，求最小正实数m，使得函数f（x）的图象向左平移m个单位后所对应的函数是偶函数；
（3）若f（x）在[0，$\frac{π}{3}$]上是单调递增函数，求ω最大值．

Answer 1

分析 （1）根据函数图象确定A，ω和φ的值即可．
（2）根据三角函数平移关系，结合偶函数的性质即可得到结论．
（3）根据三角函数单调性和周期之间的关系建立不等式关系即可．

解答 解：（1）由图象知A=2，
函数的周期T=4•（$\frac{π}{3}$-$\frac{π}{12}$）=4×$\frac{3π}{12}$=π，
即$\frac{2π}{ω}$=π，则ω=2，
即f（x）=2sin（2x+φ），
由f（$\frac{π}{3}$）=2sin（2×$\frac{π}{3}$+φ）=2，
即sin（$\frac{2π}{3}$+φ）=1，
则$\frac{2π}{3}$+φ=$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z，
则φ=-$\frac{π}{6}$+2kπ，k∈Z，
∵-π＜φ＜0，
∴当k=0时，φ=-$\frac{π}{6}$，
此时f（0）=2sinφ=-1成立，
即f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{6}$）．
（2）若f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{6}$）的图象向左平移m个单位，得到y=2sin[2（x+m）-$\frac{π}{6}$]=2sin（2x+2m-$\frac{π}{6}$），
若此时函数为偶函数，
则2m-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$+kπ，即m=$\frac{π}{3}$+$\frac{kπ}{2}$，k∈Z，
∴当k=0时，m为最小的正实数此时m=$\frac{π}{3}$．
（3）若f（x）在[0，$\frac{π}{3}$]上是单调递增函数，
则$\frac{T}{2}$≥$\frac{π}{3}$，即T≥$\frac{2π}{3}$，
即$\frac{2π}{ω}$≥$\frac{2π}{3}$，
∴ω≤3，即ω最大值为3．

点评 本题主要考查三角函数解析式的求解以及三角函数单调性的应用，考查学生的运算和推理能力．