Question

13．已知圆x²+（y-1）²=1，在圆上任意一点P（x，y），有x+y+m≥0恒成立，求m的取值范围．

Answer 1

分析 先设x=cosα，y-1=sinα，再把不等式x+y+m≥0恒成立转化为m≥-（x+y）恒成立，进而利用辅助角公式求-（x+y）的最小值即可得到结论．

解答 解：由题设：x=cosα，y-1=sinα，
则 x+y=cosα+sinα+1=$\sqrt{2}$sin（α+$\frac{π}{4}$）+1∈[-$\sqrt{2}$+1，$\sqrt{2}$+1]．
∵不等式x+y+m≥0恒成立
∴m≥-（x+y）恒成立；
因为-（x+y）的最大值为：$\sqrt{2}$-1．
∴m≥$\sqrt{2}$-1．

点评 本题主要考查函数的恒成立问题．解决问题的关键在于由不等式x+y+m≥0恒成立转化为m≥-（x+y）恒成立，进而求-（x+y）的最大值．