题目内容
11.已知命题p:“$\frac{x^2}{2m-1}+\frac{y^2}{2-m}=1$是椭圆的标准方程”,命题q:“$\frac{x^2}{m-1}+\frac{y^2}{m-3}=1$是双曲线的标准方程”.且p∨q为真命题,p∧q为假命题,求实数m的取值范围.分析 可以看出命题p为真命题时,m满足$\left\{\begin{array}{l}{2m-1>0}\\{2-m>0}\\{2m-1≠2-m}\end{array}\right.$,从而可以得到命题p:$\frac{1}{2}<m<2,且m≠1$,同样可以得到命题q:1<m<3,而根据p∨q为真,p∧q为假便知p,q一真一假,从而分别求出p真q假,和p假q真时m的范围再求并集便可得出实数m的取值范围.
解答 解:命题p为真命题时,则:$\left\{\begin{array}{l}{2m-1>0}\\{2-m>0}\\{2m-1≠2-m}\end{array}\right.$;
解得$\frac{1}{2}<m<2$,且m≠1;
即p:$\frac{1}{2}<m<2$,且m≠1;
命题q为真命题时,则:(m-1)(m-3)<0;
∴1<m<3;
即q:1<m<3
∵p∨q为真,p∧q为假;
∴p,q一真一假;
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}<m<2,且m≠1}\\{m≤1,或m≥3}\end{array}\right.$,或$\left\{\begin{array}{l}{m≤\frac{1}{2},或m≥2,或m=1}\\{1<m<3}\end{array}\right.$;
∴$\frac{1}{2}<m<1$,或2≤m<3;
∴实数m的取值范围为$(\frac{1}{2},1)∪[2,3)$.
点评 考查椭圆和双曲线的标准方程,真命题、假命题的概念,以及p∨q,p∧q的真假和p,q真假的关系.
练习册系列答案
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