Question

3．已知函数f（x）=$\frac{{4}^{x}}{2+{4}^{x}}$．
（1）用定义证明，函数f（x）是R上的增函数；
（2）证明：对于任意实数r，都有f（t）+f（1-t）=1；
（3）求值：f（$\frac{1}{2013}$）+f（$\frac{2}{2013}$）+f（$\frac{3}{2013}$）+…+f（$\frac{2012}{2013}$）

Answer 1

分析 （1）直接利用用定义，通过f（x₁）-f（x₂）化简表达式，比较出大小即可证明函数f（x）是R上的单调性；
（2）化简f（t）+f（1-t），证明它的值是1即可；
（3）由（2），f（t）+f（1-t）=1，求出首末两项的和为1，利用倒序相加法，求出f（$\frac{1}{2013}$）+f（$\frac{2}{2013}$）+f（$\frac{3}{2013}$）+…+f（$\frac{2012}{2013}$）

解答 解：（1）证明：设任意x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=$\frac{{4}^{{x}_{1}}}{2{+4}^{{x}_{1}}}$-$\frac{{4}^{{x}_{2}}}{2{+4}^{{x}_{2}}}$=$\frac{2{（4}^{{x}_{1}}{-4}^{{x}_{2}}）}{（2{+4}^{{x}_{1}}）（2{+4}^{{x}_{2}}）}$，
∵x₁＜x₂，
∴4^x1＜4^x2，∴4^x1-4^x2＜0，
又2+4^x1＞0，2+4^x2＞0．
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
∴f（x₁）＜f（x₂），…（4分）
∴f（x）在R上是增函数； …（6分）
（2）对任意t，f（t）+f（1-t）=$\frac{{4}^{t}}{2{+4}^{t}}$-$\frac{{4}^{t-1}}{2{+4}^{t-1}}$=$\frac{2{+4}^{t}}{2{+4}^{t}}$=1．
∴对于任意t，f（t）+f（1-t）=1； …（10分）
（3）∵由（2）得f（t）+f（1-t）=1
∴f（$\frac{1}{2013}$）+f（$\frac{2012}{2013}$）=1，f（$\frac{2}{2013}$）+f（ $\frac{2011}{2013}$）=1，
∴f（$\frac{1}{2013}$）+f（ $\frac{2}{2013}$）+…+f（ $\frac{2012}{2013}$）+f（$\frac{2012}{2013}$）+f（$\frac{2011}{2013}$）+…+f（$\frac{1}{2013}$）=2012，
∴f（$\frac{1}{2013}$）+f（$\frac{2}{2013}$）+f（$\frac{3}{2013}$）+…+f（$\frac{2012}{2013}$）=$\frac{2012}{2}$．…（14分）

点评 本题考查函数的单调性的证明，函数值的求法，考查计算能力，值域倒序相加法的应用．