Question

6．已知二次函数f（x）的最小值为1，且f（0）=f（2）=3．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若f（x）在区间[3m，m+2]上不单调，求实数m的取值范围；
（3）求函数f（x）在区间[t-1，t]上的最小值g（t）．

Answer 1

分析 （1）由已知可得函数图象的顶点为（1，1），将f（0）=3代入，可得f（x）的解析式；
（2）若f（x）在区间[3m，m+2]上不单调，则1∈（3m，m+2），解得实数m的取值范围；
（3）结合二次函数的图象和性质，分析各种情况下，函数f（x）在区间[t-1，t]上的最小值g（t），综合讨论结果，可得答案．

解答 解：（1）∵f（0）=f（2）=3，
∴函数图象关于直线x=1对称，
又∵二次函数f（x）的最小值为1，
∴设f（x）=a（x-1）²+1，
由f（0）=3得：a=2，
故f（x）=2（x-1）²+1=2x²-4x+3．------------------（3分）                        
（2）要使函数在区间[3m，m+2]上不单调，
则1∈（3m，m+2），
解得：m∈（-1，$\frac{1}{3}$）．--------（6分）   
（3）由（1）知f（x）=2（x-1）²+1，
所以函数f（x）图象开口向上，对称轴方程为x=1------------（7分）
①当t-1≥1即t≥2时，函数f（x）在区间[t-1，t]上单调递增
当x=t-1时，f（x）的最小值g（t）=2t²-4t+9------------------（9分）
②当t-1＜1＜t．即1＜t＜2时，函数f（x）在区间[t-1，1]上单调递减，在区间[1，t]上单调递增，
当x=1时，f（x）的最小值g（t）=1------------------（11分）
③当t≤1时，函数f（x）在区间[t-1，t]上单调递减
当x=t时，f（x）的最小值g（t）=2t²-4t+3-----------------（13分）
综上所述，g（t）=$\left\{\begin{array}{l}2{t}^{2}-4t+3，t≤1\\ 1，1＜t＜2\\ 2{t}^{2}-4t+9，t≥2\end{array}\right.$．-----------------（14分）

点评 本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．