题目内容
【题目】非空集合G关于运算⊕满足:
(1)对任意a,b∈G,都有a+b∈G;
(2)存在e∈G使得对于一切a∈G都有a⊕e=e⊕a=a,
则称G是关于运算⊕的融洽集,
现有下列集合与运算:
①G是非负整数集,⊕:实数的加法;
②G是偶数集,⊕:实数的乘法;
③G是所有二次三项式构成的集合,⊕:多项式的乘法;
④G={x|x=a+b ,a,b∈Q},⊕:实数的乘法;
其中属于融洽集的是(请填写编号)
【答案】①④
【解析】解:①对于任意非负整数a,b知道:a+b仍为非负整数,所以a⊕b∈G;取e=0,及任意非负整数a,则a+0=0+a=a,因此G对于⊕为整数的加法运算来说是“融洽集”;
②对于任意偶数a,b知道:a+b仍为偶数,故有a+b∈G;但是不存在e∈G,使对一切a∈G都有a⊕e=e⊕a=a,故②的G不是“融洽集”.
③对于G={二次三项式},若a、b∈G时,a,b的两个同类项系数,则其积不再为二次三项式,故G不是和谐集,故③不正确;
④G={x|x=a+b ,a,b∈Q},设x1=a+b
,x2=c+d
,则设x1+x2=(a+c)+(b+d)
,属于集合G,
取e=1,a×1=1×a=a,因此G对于⊕实数的乘法运算来说是“融洽集”,故④中的G是“融洽集”.
故答案为①④.
逐一验证几个选项是否分别满足“融洽集”的两个条件,若两个条件都满足,是“融洽集”,有一个不满足,则不是“融洽集”.
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