Question

【题目】已知函数f（x）=﹣x3+ax2﹣x﹣1在（﹣∞，+∞）上是单调函数，则实数a的取值范围是（　　）
A.[﹣ ， ]
B.（﹣ ， ）
C.（﹣∞，﹣）∪（ ， +∞）
D.（﹣∞，﹣）∩（ ， +∞）

Answer 1

【答案】A
【解析】函数f（x）=﹣x3+ax2﹣x﹣1的导数为f′（x）=﹣3x2+2ax﹣1，
∵函数f（x）在（﹣∞，+∞）上是单调函数，
∴在（﹣∞，+∞）上f′（x）≤0恒成立，
即﹣3x2+2ax﹣1≤0恒成立，
∴△=4a2﹣12≤0，
解得﹣≤a≤
∴实数a的取值范围是[-,]
故选：A
【考点精析】解答此题的关键在于理解函数单调性的性质的相关知识，掌握函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集，以及对利用导数研究函数的单调性的理解，了解一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减．