题目内容
13.在△ABC中,BC=$\sqrt{2}$,AC=1,以AB为边作等腰直角三角形ABD(B为直角顶点,C、D两点在直线AB的两侧).当∠C变化时,求线段CD长的最大值为多少?分析 由题意画出图形,设∠CBA=α,AB=BD=a,然后利用余弦定理把CD2用含有a的代数式表示,然后换元,再利用配方法和基本不等式求得最值得答案.
解答 解:如图,设∠CBA=α,AB=BD=a,
则在三角形BCD中,由余弦定理可知$C{D}^{2}=2+{a}^{2}+2\sqrt{2}sinα$,
在三角形ABC中,由余弦定理可知$cosα=\frac{{a}^{2}+1}{2\sqrt{2}a}$,可得$sinα=\frac{\sqrt{-{a}^{4}+6{a}^{2}-1}}{2\sqrt{2}a}$,
∴$C{D}^{2}=2+{a}^{2}+\sqrt{-{a}^{4}+6{a}^{2}-1}$,令t=2+a2,则
$C{D}^{2}=t+\sqrt{-{t}^{2}+10t-17}$=$t+\sqrt{-(t-5)^{2}+8}$$≤\sqrt{2}\sqrt{(t-5)^{2}+[-(t-5)^{2}+8]}+5=9$,
当(t-5)2=4时等号成立.
∴CD最大值为3.
点评 本题考查余弦定理在解三角形中的应用,训练了换元法和配方法求函数的最值,属中档题.
练习册系列答案
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A. | 1 | B. | $\sqrt{5}$ | C. | 1或$\sqrt{5}$ | D. | 5 |
5.对某平面图形使用斜二测画法后得到的直观图是边长为1的正方形(如图),则原图形的面积是( )
A. | $\sqrt{2}$ | B. | 2 | C. | $2\sqrt{2}$ | D. | 4 |
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从这四个人中选择一人参加该运动会射击项目比赛,最佳人选是丙.
甲 | 乙 | 丙 | 丁 | |
平均环数x | 8.3 | 8.8 | 8.8 | 8.7 |
方差s2 | 3.5 | 3.6 | 2.2 | 5.4 |