Question

【题目】已知抛物线的顶点在原点，焦点在轴正半轴上，点到其准线的距离等于．

（Ⅰ）求抛物线的方程；

（Ⅱ）如图，过抛物线的焦点的直线从左到右依次与抛物线及圆交于、、、四点，试证明为定值.

（Ⅲ）过、分别作抛物的切线、，且、交于点，求与面积之和的最小值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）.

【解析】

（Ⅰ）设抛物线的方程为，根据已知条件得出的值，可得出抛物线的方程；

（Ⅱ）解法一：求出抛物线的焦点的坐标，设直线的方程为，设点、，将直线的方程与抛物线的方程联立，并列出韦达定理，利用抛物线的定义并结合韦达定理证明出是定值；

解法二：设直线的方程为，设点、，将直线的方程与抛物线的方程联立，并列出韦达定理，并利用弦长公式并结合韦达定理证明是定值；

（Ⅲ）利用导数求出切线、的方程，并将两切线方程联立得出交点的坐标，并计算出点到直线的距离，可计算出和的面积和，换元，利用导数法求出和的面积和的最小值.

（Ⅰ）设抛物线方程为，由题意得，得，

所以抛物线的方程为；

（Ⅱ） 解法一：抛物线的焦点与的圆心重合，即为.

设过抛物线焦点的直线方程为，设点、，

将直线的方程与抛物线的方程联立，消去并整理得，

，由韦达定理得，.

由抛物线的定义可知，，，.

，即为定值；

解法二：设过抛物线焦点的直线方程为，设点、，

不妨设，.

将直线的方程与抛物线的方程联立，消去并整理得，

，由韦达定理得，.

，，

，

即为定值；

（Ⅲ），，

所以切线的方程为，即，

同理可得，切线的方程为，

联立两切线方程，解得，即点，

所以点到直线的距离为．

设

，

令，则，，

所以在上是增函数，

当时，即当时，，即和面积之和的最小值为.