题目内容
设项数均为()的数列、、前项的和分别为、、.已知,且集合=.
(1)已知,求数列的通项公式;
(2)若,求和的值,并写出两对符合题意的数列、;
(3)对于固定的,求证:符合条件的数列对(,)有偶数对.
(1)已知,求数列的通项公式;
(2)若,求和的值,并写出两对符合题意的数列、;
(3)对于固定的,求证:符合条件的数列对(,)有偶数对.
(1);(2)时,数列、可以为(不唯一)6,12,16,14;2,8,10,4,时,数列对(,)不存在.(3)证明见解析.
试题分析:(1)这实质是已知数列的前项和,要求通项公式的问题,利用关系来解决;
(2)注意到,从而,又,故可求出,,这里我们应用了整体思维的思想,而要写出数列对(,),可通过列举法写出;(3)可通过构造法说明满足题意和数列对是成对出现的,即对于数列对(,),构造新数列对,(),则数列对(,)也满足题意,(要说明的是及=且数列与,与不相同(用反证法,若相同,则,又,则有均为奇数,矛盾).
试题解析:(1)时,
时,,不适合该式
故, 4分
(2)
又
得,=46,=26 8分
数列、可以为:
① 16,10,8,12;14,6,2,4 ② 14,6,10,16;12,2,4,8
③ 6,16,14,10;4,12,8,2 ④ 4,14,12,16;2,10,6,8
⑤ 4,12,16,14;2,8,10,6 ⑥ 16,8,12,10;14,4,6,2 10分
(3)令,() 12分
又=,得
=
所以,数列对(,)与(,)成对出现。 16分
假设数列与相同,则由及,得,,均为奇数,矛盾!
故,符合条件的数列对(,)有偶数对。 18分项和与的关系;(2)整体思想与列举法;(3)构造法.
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