题目内容
【题目】如图,平面平面
,四边形
是菱形,
.
(1)求证: ;
(2)若,且直线
与平面
所成角为
,求二面角
的平面角的余弦值.
【答案】(1)见解析(2)
【解析】试题分析:
(1)利用题意证得平面
,结合线面平行的性质和题意有
.
(2)建立空间直角坐标系,利用平面向量的法向量可求得二面角的平面角的余弦值为
.
试题解析:
解:(1)连接,设
,因为平面
平面
,且交线为
,
因为,所以
平面
,
平面
,所以平面
平面
,四边形
是菱形,所以
,所以
平面
,所以
,又
,所以
.
(2)解法一:过点作
于点
,连接
,因为平面
平面
,即直线
与平面
所成角为
,不妨设
,则
,过点
在
内作
的平行线
,则
平面
,以点
为原点,分别以
所在直线为
轴,建立空间直角坐标系,因为
,所以
,则
,
所以,
设平面的法向量为
,则
,所以
,取
,
同理可得平面的法向量为
,
所以,因为二面角
是锐角,所以其余弦值为
.
解法二:过点作
于点
,连接
,因为平面
平面
,又
,所以
平面
,所以
,即
平面
,所以
,即
是二面角
的平面角,过点
作
于点
,连接
,所以
平面
,即直线
与平面
所成角为
,不妨设
,则
,因为
∽
,所以
,又
,所以
,所以
,所以二面角
的余弦值为
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
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