题目内容
【题目】设函数(
为自然对数的底数),
,
.
(1)若是
的极值点,且直线
分别与函数
和
的图象交于
,求
两点间的最短距离;
(2)若时,函数
的图象恒在
的图象上方,求实数
的取值范围.
【答案】(1)1(2)
【解析】试题分析:
(1)利用题意讨论的性质可得求
两点间的最短距离为1
(2) 构造函数,求解导函数后分类讨论:
故时
恒成立.当
时,不符合题意,
故符合条件的的取值范围是
.
试题解析:
(Ⅰ)因为,所以
,因为
是
的极值点,所以
,
.
又当时,若
,
,所以
在
上为增函数,所以
,所以
是
的极小值点,所以
符合题意,所以
.令
,即
,因为
,当
时,
,
,所以
,所以
在
上递增,所以
,∴
时,
的最小值为
,所以
.
(Ⅱ)令,
则,
,因为
当
时恒成立,所以函数
在
上单调递增,∴
当
时恒成立;
故函数在
上单调递增,所以
在
时恒成立.
当时,
,
在
单调递增,即
.
故时
恒成立.
当时,因为
在
单调递增,所以总存在
,使
在区间
上
,导致
在区间
上单调递减,而
,所以当
时,
,这与
对
恒成立矛盾,所以
不符合题意,故符合条件的
的取值范围是
.
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