题目内容
【题目】已知函数
，
.
（1）当
，
时，求函数
在
处的切线方程，并求函数的最大值；
（2）若函数
的两个零点分别为
，
，且
，求证：
.
【答案】（1）
；（2）见解析
【解析】
（1）当
时，求得斜率和切点的坐标，利用点斜式写出切线方程.根据函数的导数求得函数的单调区间，由此求得函数的最大值.（2）将两个零点代入函数
的解析式，将得到两个方程相减，化简为
的表达式，通过令
，将所要证明的不等式转化为证明
，构造函数
，利用导数证明
，由此证得原不等式成立.
（1）解：当
，
时，
，
，
则
，切点为
，故函数
在
处的切线方程为
.
令
，则在
是减函数，
又
，∴
，
，
，
，
，
，
在
上是增函数，在
是减函数，
.
（2）证明：∵
，
是的两个零点，不妨设
，
∴
，
，
，
∴
，
，
相减得：
，
，
∴
，
令，即证
，
，
，
令，
，
，
在上是增函数，又∵
，
∴，
，命题得证.
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