题目内容
【题目】已知函数,
.
(1)当,
时,求函数
在
处的切线方程,并求函数
的最大值;
(2)若函数的两个零点分别为
,
,且
,求证:
.
【答案】(1);(2)见解析
【解析】
(1)当时,求得斜率和切点的坐标,利用点斜式写出切线方程.根据函数的导数求得函数的单调区间,由此求得函数的最大值.(2)将两个零点代入函数
的解析式,将得到两个方程相减,化简为
的表达式,通过令
,将所要证明的不等式转化为证明
,构造函数
,利用导数证明
,由此证得原不等式成立.
(1)解:当,
时,
,
,
则,切点为
,故函数
在
处的切线方程为
.
令,则
在
是减函数,
又,∴
,
,
,
,
,
,
在
上是增函数,在
是减函数,
.
(2)证明:∵,
是
的两个零点,不妨设
,
∴,
,
,
∴,
,
相减得:
,
,
∴
,
令,即证
,
,
,
令,
,
,
在
上是增函数,又∵
,
∴,
,命题得证.

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