Question

对于函数 ，若存在，使成立，则称为的不动点．如果函数有且仅有两个不动点0，2，且．
（1）    求函数的单调区间；
（2）    已知数列各项不为零且不为1，满足，求证：；
设，为数列的前项和，求证：

Answer 1

解：（1）设，
所以，所以，由，
又，所以，所以，
于是，
于是易求得的增区间为，减区间为………… 4分
（2）由已知可得，当时，
两式相减得，所以或
当时，，若，则与矛盾，
所以，从而，于是要证的不等式即为，于是我们可以考虑证明不等式：，令，则，
再令，由知，所以当时，单调递增，所以，于是，即①
令，当时，单调递增，所以，于是，即②
由①②可知，所以，
即原不等式成立。                                             ………… 9分
（3）由（2）可知，，在中，令，并将各式相加得

即

略