题目内容
【题目】如图,马路南边有一小池塘,池塘岸
长40米,池塘的最远端
到
的距离为400米,且池塘的边界为抛物线型,现要在池塘的周边建一个等腰梯形的环池塘小路
,且
均与小池塘岸线相切,记
.
(1)求小路的总长,用表示;
(2)若在小路与小池塘之间(图中阴影区域)铺上草坪,求所需铺草坪面积最小时,的值.
【答案】(1)(2)当
时,所需铺草坪面积最小
【解析】
(1)建立合适的平面直角坐标系,求出小池塘的边界抛物线方程,然后设出直线的方程,和抛物线联立,可求出切点坐标, 同时可求出
的坐标,表示出
,变形即可得结果;
(2)要所需铺草坪面积最小,需要梯形面积最小,利用(1)的结果表示出梯形面积,利用基本不等式求出最值.
解:(1)以为原点,
所在直线为
轴,过点
作垂直于
轴的直线为
轴,建立直角坐标系,所以
,
因为小池塘的边界为抛物线型,设边界所在的抛物线方程为,
因为是曲线上一点,
所以,即抛物线方程为
.
设所在的直线方程:
,
联立,即
,
因为与抛物线相切,
所以①.
记直线与抛物线切于点
,
所以点的横坐标为
,即
.
易得点,点
,由对称性可知
,点
.
所以小路总长为,
由①及可知
;
(2)记草坪面积为,梯形面积为
,小池塘面积为
,
所以,因为小池塘面积
为定值,要使得草坪面积最小,则梯形面积最小
,
由①知,当且仅当“
”取得“=”
所以当时,梯形面积最小,即草坪面积最小.
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