题目内容
【题目】已知函数,
.
(1)若曲线在
处的切线与直线
垂直,求实数
的值;
(2)设,若对任意两个不等的正数
,都有
恒成立,求实数
的取值范围;
(3)若上存在一点
,使得
成立,求实数
的取值范围.
【答案】(1)(2)
(3)
【解析】试题分析:(1)先根据导数几何意义得,解得实数
的值;(2)设
,构造函数
,则转化为
在
上为增函数,即得
在
上恒成立,参变分离得
,最后根据二次函数最值求实数
的取值范围;(3)先化简不等式,并构造函数
,求导数,按导函数零点与定义区间大小关系讨论函数单调性,根据单调性确定函数最小值,根据最小值小于零解得实数
的取值范围.
试题解析:解:(1)由,得
.
由题意, ,所以
.
(2).
因为对任意两个不等的正数,都有
恒成立,设
,则
即
恒成立.
问题等价于函数,
即在
上为增函数,
所以在
上恒成立.即
在
上恒成立.
所以,即实数
的取值范围是
.
(3)不等式等价于
,整理得
.构造函数
,
由题意知,在上存在一点
,使得
.
.
因为,所以
,令
,得
.
①当,即
时,
在
上单调递增.只需
,解得
.
②当即
时,
在
处取最小值.
令即
,可得
.
令,即
,不等式
可化为
.
因为,所以不等式左端大于1,右端小于等于1,所以不等式不能成立.
③当,即
时,
在
上单调递减,只需
,解得
.
综上所述,实数的取值范围是
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】随着人口老龄化的到来,我国的劳动力人口在不断减少,“延迟退休”已经成为人们越来越关注的话题,为了解公众对“延迟退休”的态度,某校课外研究性学习小组在某社区随机抽取了50人进行调查,将调查情况进行整理后制成下表:
年龄 | [20,25) | [25,30) | [30,35) | [35,40) | [40,45) |
人数 | 4 | 5 | 8 | 5 | 3 |
年龄 | [45,50) | [50,55) | [55,60) | [60,65) | [65,70) |
人数 | 6 | 7 | 3 | 5 | 4 |
经调查年龄在[25,30),[55,60)的被调查者中赞成“延迟退休”的人数分别是3人和2人.现从这两组的被调查者中各随机选取2人,进行跟踪调查.
(I)求年龄在[25,30)的被调查者中选取的2人都赞成“延迟退休”的概率;
(II)若选中的4人中,不赞成“延迟退休”的人数为,求随机变量
的分布列和数学期望.
【题目】2018年2月9-25日,第23届冬奥会在韩国平昌举行.4年后,第24届冬奥会将在中国北京和张家口举行.为了宣传冬奥会,某大学在平昌冬奥会开幕后的第二天,从全校学生中随机抽取了120名学生,对是否收看平昌冬奥会开幕式情况进行了问卷调查,统计数据如下:
收看 | 没收看 | |
男生 | 60 | 20 |
女生 | 20 | 20 |
(Ⅰ)根据上表说明,能否有的把握认为,收看开幕式与性别有关?
(Ⅱ)现从参与问卷调查且收看了开幕式的学生中,采用按性别分层抽样的方法选取8人,参加2022年北京冬奥会志愿者宣传活动.
(ⅰ)问男、女学生各选取多少人?
(ⅱ)若从这8人中随机选取2人到校广播站开展冬奥会及冰雪项目宣传介绍,求恰好选到一名男生一名女生的概率P.
附:,其中
.