题目内容
【题目】已知函数.
求函数
在
处的切线方程;
若
在
,
处导数相等,证明:
.
若对于任意
,直线
与函数
图象都有唯一公共点,求实数
的取值范围.
【答案】;
证明见解析;
.
【解析】
先求导得
函数
在
处的切线方程为:
,代入化简即可得结论.
根据
在
,
处导数相等,即
,
为方程
的根,
,解得
,由韦达定理
,
的值写出
,
进而求导可证.
将问题传化为
有唯一零点,再利用导数研究函数的单调性,利用函数单调性得函数草图,根据草图可得.
解:,
所以,
所以函数在
处的切线方程为:
,
即,
根据题意得,
,
即,
为方程
的根,
,
解得,
所以,
,
所以
,
令,
,
,
,
,
当时,
,
单调递增.
当时,
,
单调递减.
所以,
所以,
所以.
根据题意得,方程
只有一个根,
即,只有一个根,
令,有唯一零点,
当趋近于
时,
趋近于
,
趋近于
时,
趋近于
,
下面证明恒成立,
若存在,使得
,
所以存在,
,使得
,
,
,则
与
至少有两个交点,矛盾.
由对于任意,
只有一个解,得
为
上的增函数,
所以,
得,
令,
,
则,
所以在
上单调递增,在
上单调递减,
,
得.
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