题目内容
【题目】已知椭圆:
的离心率为
,直线
:
与以原点为圆心,以椭圆
的短半轴长为半径的圆相切.
为左顶点,过点
的直线交椭圆
于
,
两点,直线
,
分别交直线
于
,
两点.
(1)求椭圆的方程;
(2)以线段为直径的圆是否过定点?若是,写出所有定点的坐标;若不是,请说明理由.
【答案】(1);(2)是,定点坐标为
或
【解析】
(1)根据相切得到,根据离心率得到
,得到椭圆方程.
(2)设直线的方程为
,点
、
的坐标分别为
,
,联立方程得到
,
,计算点
的坐标为
,点
的坐标为
,圆的方程可化为
,得到答案.
(1)根据题意:,因为
,所以
,
所以椭圆的方程为
.
(2)设直线的方程为
,点
、
的坐标分别为
,
,
把直线的方程代入椭圆方程化简得到
,
所以,
,
所以,
,
因为直线的斜率
,所以直线
的方程
,
所以点的坐标为
,同理,点
的坐标为
,
故以为直径的圆的方程为
,
又因为,
,
所以圆的方程可化为,令
,则有
,
所以定点坐标为或
.
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