题目内容

已知函数
(1)判断函数的奇偶性;
(2)试用函数单调性定义说明函数在区间上的增减性;
(3)若满足:,试证明:
(1)偶函数,(2)在上是减函数,在上是增函数(3)详见解析.

试题分析:(1)判定函数奇偶性,首先判定函数定义域是否关于原点对称,然后再判断的相等或相反关系.本题定义域为一切实数,关于原点对称.函数为分段函数,需分类讨论. 当时,.当时,.故为偶函数.(2)利用定义研究函数单调性,需注重作差后的变形,关键是提取公因式,进行因式分解,以便判断符号.(3)由于是同区间的两个任意数,所以只需证,从而本题实质为求函数最值.由函数奇偶性及单调性知:
,所以成立.
试题解析:解:(1)∵当时,,∴
       2分
∵当时,,∴
      4分
∴对都有,故为偶函数           5分
(2)当时,
,则     7分
∴当时,
时,        9分
∴函数在区间上是减函数,在区间上是增函数   11分
(3)由(2)可知,当时:
,则
,则
∴当时,有                                   12分
又由(1)可知为偶函数,∴当时,有      13分
∴若时,则          14分
          15分
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