Question

【题目】设f（x）=a（x﹣5）2+6lnx，其中a∈R，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与y轴相交于点（0，6）．
（1）确定a的值；
（2）求函数f（x）的单调区间与极值．

Answer 1

【答案】
（1）解：因f（x）=a（x﹣5）2+6lnx，故f′（x）=2a（x﹣5）+ ，（x＞0），

令x=1，得f（1）=16a，f′（1）=6﹣8a，

∴曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y﹣16a=（6﹣8a）（x﹣1），

由切线与y轴相交于点（0，6）．

∴6﹣16a=8a﹣6，

∴a=

（2）解：由（I）得f（x）= （x﹣5）2+6lnx，（x＞0），

f′（x）=（x﹣5）+ = ，令f′（x）=0，得x=2或x=3，

当0＜x＜2或x＞3时，f′（x）＞0，故f（x）在（0，2），（3，+∞）上为增函数，

当2＜x＜3时，f′（x）＜0，故f（x）在（2，3）上为减函数，

故f（x）在x=2时取得极大值f（2）= +6ln2，在x=3时取得极小值f（3）=2+6ln3

【解析】（1）先由所给函数的表达式，求导数fˊ（x），再根据导数的几何意义求出切线的斜率，最后由曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与y轴相交于点（0，6）列出方程求a的值即可；（2）由（1）求出的原函数及其导函数，求出导函数的零点，把函数的定义域分段，判断导函数在各段内的符号，从而得到原函数的单调区间，根据在各区间内的单调性求出极值点，把极值点的横坐标代入函数解析式求得函数的极值．
【考点精析】利用利用导数研究函数的单调性和函数的极值对题目进行判断即可得到答案，需要熟知一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减；极值反映的是函数在某一点附近的大小情况．