Question

【题目】已知函数f（x）=x﹣1+ （a∈R）．
（1）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于x轴，求a的值；
（2）求函数f（x）的极值；
（3）当a=1时，若直线l：y=kx﹣1与曲线y=f（x）没有公共点，求k的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由 ，得f′（x）=1﹣ ，

∴f′（1）=1﹣ ，

由曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于x轴，得 ，即a=e

（2）解：由f′（x）=1﹣ ，知

若a≤0，则f′（x）＞0，函数f（x）在实数集内为增函数，无极值；

若a＞0，由f′（x）=1﹣ =0，得x=lna，

当x∈（﹣∞，lna）时，f′（x）＜0，当x∈（lna，+∞）时，f′（x）＞0．

∴f（x）在（﹣∞，lna）上单调递减，在（lna，+∞）上单调递增

（3）解：当a=1时，f（x）=x﹣1+ ，令g（x）=f（x）﹣（kx﹣1）=（1﹣k）x+ ，

则直线l：y=kx﹣1与曲线y=f（x）没有公共点，

等价于方程g（x）=0在R上没有实数解．

假设k＞1，此时g（0）=1＞0，g（ ）=﹣1+ ＜0，

又函数g（x）的图象连续不断，由零点存在定理可知g（x）=0在R上至少有一解，

与“方程g（x）=0在R上没有实数解”矛盾，故k≤1．

又k=1时，g（x）= ＞0，知方程g（x）=0在R上没有实数解．

∴k的最大值为1

【解析】（1）求出原函数的导函数，依题意f′（1）=0，从而可求得a的值；（2）f′（x）=1﹣ ，分①a≤0时②a＞0讨论，可知f（x）在∈（﹣∞，lna）上单调递减，在（lna，+∞）上单调递增，从而可求其极值；（3）令g（x）=f（x）﹣（kx﹣1）=（1﹣k）x+ ，则直线l：y=kx﹣1与曲线y=f（x）没有公共点，等价于方程g（x）=0在R上没有实数解，分k＞1与k≤1讨论即可得答案．
【考点精析】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性的相关知识点，需要掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减才能正确解答此题．