Question

【题目】已知函数 ．

（Ⅰ）若的极小值为，求的值；

（Ⅱ）若对任意,都有恒成立，求实数的取值范围；

Answer 1

【答案】（Ⅰ）a=e；（Ⅱ）.

【解析】分析：（Ⅰ）求导，当时显然不成立，当时，由得，分析单调性，从而可得解；

（Ⅱ）令，，令，得，进而讨论和，结合分析单调性即可得解.

详解：（Ⅰ）

①当时，恒成立，无极值；

②当时，由得，并且

当时，；当时，.

所以，当时， 取得极小值；

依题意，，，

又，；

综上，.

（Ⅱ） 令，则,.

令，则当时，，单调递增，.

①当时， 在上单调递增，；

所以，当时，对任意恒成立；

②当时，，，

所以，存在，使（此处用“当时，存在，使”证明，扣1分），

并且，当时，，在上单调递减，

所以，当时，，

所以，当时，对任意不恒成立；

综上，的取值范围为.