题目内容
10.从圆C:(x-2)2+(y-3)2=1外-点P(a,b)向圆引切线PT,T为切点,且PT=PO(O为原点).(1)求a,b满足的关系;
(2)求PT的最小值及此时P点坐标.
分析 (1)求出圆心坐标和半径,由两点的距离公式,由切线长等于P到O点的距离列式求得P的轨迹方程;
(2)由(1)得P得轨迹为直线,把|PT|的值转化为|PO|的值,由点到直线的距离公式求解原点到直线的距离,可得|PT|的最小值及P的坐标.
解答 解:(1)由(x-2)2+(y-3)2=1.
可得圆心C的坐标为(2,3),半径等于1.
由P(a,b),则|PT|2=(a-2)2+(b-3)2-12=a2+b2-4a-6b+12,
|PO|2=a2+b2.
由|PT|=|PO|,得a2+b2-4a-6b+12=a2+b2.
整理得:2a+3b-6=0.
∴a,b满足的关系为:2a+3b-6=0;
(2)求|PT|的最小值,就是求|PO|的最小值.
在直线2a+3b-6=0上取一点到原点距离最小,
由“垂线段最短”得,直线OP垂直直线2a+3b-6=0,
由点到直线的距离公式得:
PT的最小值为:$\frac{|-6|}{\sqrt{{2}^{2}+{3}^{2}}}$=$\frac{6\sqrt{13}}{13}$.
由$\left\{\begin{array}{l}{2a+3b-6=0}\\{3a-2b=0}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{12}{13}}\\{b=\frac{18}{13}}\end{array}\right.$.
即有P($\frac{12}{13}$,$\frac{18}{13}$).
点评 本题考查了轨迹方程的求法,考查了直线与圆的位置关系,训练了点到直线的距离公式的应用,体现了数学转化思想方法,是中档题.
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