Question

18．已知实数x，y满足条件$\left\{\begin{array}{l}{x+2y≥2}\\{2x+y≤4}\\{4x-y≥-1}\end{array}\right.$，则z=y-2x的取值范围是[-4，2]．

Answer 1

分析 作出不等式组对应的平面区域，利用数形结合即可得到结论．

解答 解：由z=y-2x，得y=2x+z，
作出不等式对应的可行域，
平移直线y=2x+z，
由平移可知当直线y=2x+z经过点B时，
直线y=2x+z在y轴的截距最小，此时z取得最小值，
当直线y=2x+z经过点A时，
直线y=2x+z在y轴的截距最大，此时z取得最大值，
由$\left\{\begin{array}{l}{2x+y=4}\\{x+2y=2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=0}\end{array}\right.$，即B（2，0），
由$\left\{\begin{array}{l}{2x+y=4}\\{4x-y=-1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}}\\{y=3}\end{array}\right.$，即A（$\frac{1}{2}$，3）
将B（2，0）代入z=y-2x，得z=0-2×2=-4，
即z=y-2x的最小值为-4．
将A（$\frac{1}{2}$，3）代入z=3-2×$\frac{1}{2}$，得z=3-1=2，
即z=y-2x的最大值为2．
即-4≤z≤2，
故答案为：[-4，2]

点评 本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．