题目内容
【题目】已知函数.
(1)求函数的单调区间和极值;
(2)证明:当时,函数
没有零点(提示:
).
【答案】(1)单调增区间为,单调减区间为
,极小值为
;(2)证明见解析.
【解析】
试题分析:(1)对函数进行化简求导得
.利用导数工具可得:当
时,
取得极小值
;(2)由(1)可知
取得极小值,亦即最小值为:
,又
,设
,利用导数工具得
有唯一的零点
,使得
在
上单调递增,在
上单调递减.又由于
恒成立
恒成立
恒成立
当
时,函数
没有零点.
试题解析:(1)因为,
所以.
因为,所以当
时,
,当
时,
.
所以函数的单调增区间为
,单调减区间为
.
当时,
取得极小值
.
(2)由(1)可知:当时,
取得极小值,亦即最小值.
,又因为
,所以
,
设,则
.
因为在
上单调递减,且
,
所以有唯一的零点
,使得
在
上单调递增,在
上单调递减.
又由于.
所以恒成立,从而
恒成立,则
恒成立.
所以当时,函数
没有零点.
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