Question

某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为30元，并且每件产品须向总公司缴纳a元（a为常数，2≤a≤5）的管理费，根据多年的统计经验，预计当每件产品的售价为x元时，产品一年的销售量为（e为自然对数的底数）万件，已知每件产品的售价为40元时，该产品一年的销售量为500万件．经物价部门核定每件产品的售价x最低不低于35元，最高不超过41元．
（Ⅰ）求分公司经营该产品一年的利润L（x）万元与每件产品的售价x元的函数关系式；
（Ⅱ）当每件产品的售价为多少元时，该产品一年的利润L（x）最大，并求出L（x）的最大值．
参考公式：为常数．

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）每件产品的售价为（31+a）元时，该产品一年的利润最大，最大利润为万元．

试题分析：（Ⅰ）求分公司经营该产品一年的利润L（x）万元与每件产品的售价x元的函数关系式，由该产品一年的销售量为，将每件产品的售价为40元时，该产品一年的销售量为500万件，代入可得k值，进而根据利润=单件利润×销售量得到该产品一年的利润L（x）万元与每件产品的售价x元的函数关系式；（Ⅱ）当每件产品的售价为多少元时，该产品一年的利润L（x）最大，由（Ⅰ）中所得函数的解析式，求导后分析函数的单调性，进而分析出该产品一年的利润L（x）的最大值．
试题解析：（Ⅰ）由题意，该产品一年的销售量为，将代入得，故该产品一年的销售量为 2分
故， ６分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，，
当时，，当且仅当时取等号，故在上单调递减，故的最大值为 ９分
当时， ?，?，故在上单调递增，在上单调递减，故的最大值为 ^a１２分综上所述，当时，每件产品的售价为35元时，该产品一年的利润最大，最大利润为万元；当时，每件产品的售价为（31+a）元时，该产品一年的利润最大，最大利润为万元； １４分