Question

【题目】 已知抛物线的顶点为坐标原点，焦点在轴的正半轴上，过点的直线与抛物线相交于，两点，且满足

（1）求抛物线的方程；

（2）若是抛物线上的动点，点在轴上，圆内切于，求面积的最小值.

Answer 1

【答案】（1）(2) 8

【解析】

（1）设直线的方程为由直线方程与抛物线方程联立，消元后可，代入可求得，得抛物线方程；

（2）设易知点M，N的横坐标与P的横坐标均不相同.不妨设mn. 写出直线PM的方程，由直线PM与圆相切得一关系式，同理PN与圆相切又得一关系式，两者比较说明是一个方程的根，由韦达定理得，从而可表示并求出（用表示），而面积为，表示为的函数，由基本不等式可求得最小值．

（1）由题意，设抛物线C的方程为，则焦点F的坐标为.

设直线的方程为

联立方程得，消去得

所以

因为所以故抛物线的方程为.

(2)设易知点M，N的横坐标与P的横坐标均不相同.

不妨设mn.

易得直线PM的方程为化简得，

又圆心（0,1）到直线PM的距离为1，所以

所以

不难发现，故上式可化为

同理可得

所以m，n可以看作是的两个实数根，则

所以

因为是抛物线C上的点，所以

则又，所以从而

当且仅当时取得等号，此时

故△PMN面积的最小值为8.