题目内容
(本小题满分14分)
如图,在四棱锥中,底面为平行四边形,平面,在棱上.
(Ⅰ)当时,求证平面
(Ⅱ)当二面角的大小为时,求直线与平面所成角的正弦值.
如图,在四棱锥中,底面为平行四边形,平面,在棱上.
(Ⅰ)当时,求证平面
(Ⅱ)当二面角的大小为时,求直线与平面所成角的正弦值.
解:(Ⅰ)在平行四边形中,由,,,
易知,…………………2分
又平面,所以平面,
∴,
在直角三角形中,易得,
在直角三角形中,,,
又,∴,
可得
.
∴,……………………6分
又∵,∴平面.………7分
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知,,,
可知为二面角的平面角,
,此时为的中点. ……………9分
过作,连结,则平面平面,
作,则平面,连结,
可得为直线与平面所成的角.
因为,,
所以.……………12分
在中,
直线与平面所成角的正弦值大小为.……………………14分
解法二:依题意易知,平面ACD.以A为坐标原点,AC、AD、SA分别为轴建立空间直角坐标系,则易得……………2分,
(Ⅰ)由有,……………4分
易得,从而平面ACE.……………………7分
(Ⅱ)由平面,二面角的平面角.
又,则 E为的中点,
即 ,………………9分
设平面的法向量为
则,令,得,…………11分
从而,…………13分
直线与平面所成角的正弦值大小为.……………………14分
易知,…………………2分
又平面,所以平面,
∴,
在直角三角形中,易得,
在直角三角形中,,,
又,∴,
可得
.
∴,……………………6分
又∵,∴平面.………7分
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知,,,
可知为二面角的平面角,
,此时为的中点. ……………9分
过作,连结,则平面平面,
作,则平面,连结,
可得为直线与平面所成的角.
因为,,
所以.……………12分
在中,
直线与平面所成角的正弦值大小为.……………………14分
解法二:依题意易知,平面ACD.以A为坐标原点,AC、AD、SA分别为轴建立空间直角坐标系,则易得……………2分,
(Ⅰ)由有,……………4分
易得,从而平面ACE.……………………7分
(Ⅱ)由平面,二面角的平面角.
又,则 E为的中点,
即 ,………………9分
设平面的法向量为
则,令,得,…………11分
从而,…………13分
直线与平面所成角的正弦值大小为.……………………14分
略
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