题目内容

(本小题满分14分)
如图,在四棱锥中,底面为平行四边形,平面在棱

(Ⅰ)当时,求证平面
(Ⅱ)当二面角的大小为时,求直线与平面所成角的正弦值.
解:(Ⅰ)在平行四边形中,由


易知,…………………2分
平面,所以平面,

在直角三角形中,易得
在直角三角形中,
,∴
可得

……………………6
又∵,∴平面.………7分
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知,,
可知为二面角的平面角,
,此时的中点. ……………9分
,连结,则平面平面,
,则平面,连结,
可得为直线与平面所成的角.
因为,,
所以.……………12分
中,
直线与平面所成角的正弦值大小为.……………………14分
解法二:依题意易知平面ACD.以A为坐标原点,AC、AD、SA分别为轴建立空间直角坐标系,则易得……………2分
(Ⅰ)由,……………4分
易得,从而平面ACE.……………………7分
(Ⅱ)由平面,二面角的平面角
,则 E为的中点,
,………………9分
设平面的法向量为
,令,得,…………11分
从而,…………13分
直线与平面所成角的正弦值大小为.……………………14分
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