Question

【题目】设椭圆的焦点在轴上，离心率为，抛物线的焦点在轴上， 的中心和的顶点均为原点，点在上，点在上，

（1）求曲线， 的标准方程；

（2）请问是否存在过抛物线的焦点的直线与椭圆交于不同两点，使得以线段为直径的圆过原点？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由.

Answer 1

【答案】（1）， ；（2）不存在.

【解析】试题分析：（1）利用待定系数法设的方程为，根据离心率和点在上，列出方程组，解出，故得其方程，根据题意可设的方程为，由可得最后结果；（2）将以线段为直径的圆过原点等价转化为，假设存在，首先验证斜率不存在时不满足题意，当斜率不存在时，联立直线与椭圆的方程，结合韦达定理可得结果.

试题解析：（1）设的方程为，则.所以椭圆的方程为.点在上，设的方程为，则由，得.所以抛物线的方程为.

（2）因为直线过抛物线的焦点.当直线的斜率不存在时，点，或点，显然以线段为直径的圆不过原点，故不符合要求；

当直线的斜率存在时，设为，则直线的方程为，

代入的方程，并整理得.

设点，则，

.

因为以线段为直径的圆过原点，所以，所以，所以，所以.化简得，无解.