题目内容
【题目】已知函数
在
处取得极值.
（1）当
时，求曲线
在
处的切线方程；
（2）若函数
有三个零点，求实数
的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
先对函数
求导，根据函数 在
处取得极值，求出
；
（1）将
代入解析式，再由导数的方法求出其在
处的切线斜率，进而可求出结果；
（2）函数有三个零点，等价于方程
有三个不等实根，也即是函数
与直线
有三个不同的交点，由导数的方法研究函数的极值，即可得出结果.
解：
，
由题意知
，所以
，即
.
所以
.
（1）当时，
，
，
所以
，
，
所以在处的切线方程为
，即
.
（2）令
，则.
设，则
与
的图象有三个交点.
，
所以当
变化时，
，
的变化情况为
|
|
|
| 1 |
|
| + | 0 | - | 0 | + |
| 增函数 | 极大值 | 减函数 | 极小值 | 增函数 |
所以
，
.
又当
时，
；当
时，
，
所以
，即
.
所以
的取值范围是
.
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t（h） | 0 | 3 | 6 | 9 | 12 | 15 | 18 | 21 | 24 |
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