题目内容
【题目】如图，在三棱柱
中，
是等边三角形，
平面
是
的中点，
是
的中点.
（1）求证：
平面
；
（2）求证：平面
平面
；
（3）若
，求三棱锥
的体积.
【答案】（1）详见解析（2）详见解析（3）
【解析】
（1）取
的中点为
，连接
，根据线面平行的判定定理，即可证明结论成立；
（2）先由线面垂直的判定定理，证明
面
，进而可得面面垂直；
（3）先由题中条件求出
到平面的距离，再由三棱锥体积公式，即可得出结果.
（1）取的中点为，连接，
因为
分别为
的中点，
所以
，且
，
所以
且
，则四边形
为平行四边形，
所以
，
又
面
，
面，
所以
面；
（2）因为
平面
，
面，所以
，
又
为正三角形，
为
的中点，所以
，
又
，
所以
面，又，
所以面，
又
面，
所以平面
平面.
（3）由
，
得
，
，又
，
，即到平面的距离为
，得
,
故三棱锥
的体积为.
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