Question

【题目】如图，在三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1＝AC，A1B⊥AC1，设O为AC1与A1C的交点，点P为BC的中点.求证：

（1）OP∥平面ABB1A1；

（2）平面ACC1⊥平面OCP.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析

【解析】

（1）根据平面ACC1A1是平行四边形，则O为A1C的中点，又P为BC的中点，根据三角形中位线得到OP∥A1B，再利用线面平行的判定定理证明.

（2）根据AA1＝AC，得到平面ACC1A1是菱形，从而AC1⊥OC，再由A1B⊥AC1，OP∥A1B，得到AC1⊥OP，由线面垂直的判定定理得到AC1⊥平面OCP，然后用面面垂直的判定定理证明.

（1）∵在三棱柱中，平面ACC1A1是平行四边形，

∴O为A1C的中点，又∵P为BC的中点，

∴OP∥A1B，

∵A1B平面ABB1A1，OP平面ABB1A1，

∴OP∥平面ABB1A1，

（2）∵平面ACC1A1是平行四边形，且AA1＝AC，

∴平面ACC1A1是菱形，

∴AC1⊥A1C，即AC1⊥OC，

∵A1B⊥AC1，且OP∥A1B，

∴AC1⊥OP，又AC1⊥OC，OPOC＝O，

∴AC1⊥平面OCP，

∵AC1平面ACC1，

∴平面ACC1⊥平面OCP.