题目内容
【题目】如图,多面体中,四边形
为矩形,二面角
为
,
,
,
,
,
.
(1)求证:平面
;
(2)为线段
上的点,当
时,求二面角
的余弦值.
【答案】(1)证明见解析;(2).
【解析】
(1)根据四边形是矩形,得到
,根据线面平行的判定定理得到
平面
,进而得到
平面
,利用面面平行的判定定理证得平面
平面
,利用面面平行的性质得到
平面
,证得结果;
(2)根据题意,证得平面平面
,作
于点
,则
平面
,建立空间直角坐标系
,写出相应点的坐标,利用空间向量求得二面角的余弦值.
(1)证明:因为四边形是矩形,所以
,
又因为平面
,所以
平面
,
因为,
平面
,所以
平面
,
又因为,所以平面
平面
,
而平面
,所以
平面
.
(2)解:因为,
,所以
,
因为平面
,故平面
平面
,
作于点
,则
平面
,
以为原点,平行于
的直线为
轴,
所在直线为
轴,
所在直线为
轴,建立如图所示的空间直角坐标系
,
由,
,
,得
,
,
则,
,
,
,
所以,
由已知,所以
,
,
设平面的一个法向量为
,则
,
取,
,
,得
,又平面
的一个法向量为
,
所以,即二面角
的余弦值为
.
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