题目内容
【题目】如图，在三棱锥P-ABC中，已知
，顶点P在平面ABC上的射影为
的外接圆圆心.
（1）证明：平面
平面ABC；
（2）若点M在棱PA上，
，且二面角P-BC-M的余弦值为
，试求
的值.
【答案】（1）证明见解析 （2）
【解析】
（1）设
的中点为
，连接
，易知点为
的外接圆圆心，从而
平面
，即可证明平面
平面ABC；
（2）以
，
，
所在直线分别为
轴，
轴，
轴建立如图所示的空间直角坐标系， 求出平面
与平面
的法向量，代入公式即可建立
的方程，解之即可.
（1）证明：如图，设的中点为，连接，
由题意，得
，则为直角三角形，
点为的外接圆圆心．
又点
在平面上的射影为的外接圆圆心，
所以平面，
又
平面
，所以平面平面．
（2）解：由（1）可知平面，
所以
，
，
，
于是以，，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则
，
，
，
，
，
设
，
，
，
设平面的法向量为
，
则
得
令
，得
，
，
即
．
设平面的法向量为
，
由
得
令
，得
，
，即
解得
即M为PA的中点．
【题目】某医院体检中心为回馈大众，推出优惠活动：对首次参加体检的人员，按200元/次收费，并注册成为会员，对会员的后续体检给予相应优惠（本次即第一次），标准如下：
体检次序 | 第一次 | 第二次 | 第三次 | 第四次 | 第五次及以上 |
收费比例 | 1 | 0.95 | 0.90 | 0.85 | 0.8 |
该体检中心从所有会员中随机选取了100位对他们在本中心参加体检的次数进行统计，得到数据如下表：
体检次数 | 一次 | 两次 | 三次 | 四次 | 五次及以上 |
频数 | 60 | 20 | 12 | 4 | 4 |
假设该体检中心为顾客体检一次的成本费用为150元，根据所给数据，解答下列问题：
（1）已知某顾客在此体检中心参加了3次体检，求这3次体检，该体检中心的平均利润；
（2）该体检中心要从这100人里至少体检3次的会员中，按体检次数用分层抽样的方法抽出5人，再从这5人中抽取2人发放纪念品，求抽到的2人中恰有1人体检3次的概率．
