Question

【题目】在平面直角坐标系中，椭圆经过点，且点与椭圆的左、右顶点连线的斜率之积为.

（1）求椭圆的方程；

（2）若椭圆上存在两点，使得的垂心（三角形三条高的交点）恰为坐标原点，试求直线的方程.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）根据题意，得到，求出，即可得出椭圆方程；

（2）设，，根据题意，得到，设直线的方程为，联立直线与椭圆方程，根据判别式，以及根与系数关系，由题意，得到，求出，即可得出结果.

解：（1）由题意，得，

解得，所以椭圆的方程为.

（2）设，.因为，而，所以，

故可设直线的方程为.

联立，消去，得，

首先，由得，解得.（*）

且，.

又，所以，得，

即，整理得，，

所以，

即，解得或（均适合（*）式）.

当时，直线恰好经过点，不能构成三角形，不合题意，故舍去.

所以直线的方程为.