题目内容
选做题（请考生在以下三个小题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评阅记分）
（1）（不等式选讲）已知函数f（x）=log2（|x-1|+|x-5|-a），当函数f（x）的定义域为R时，则实数a的取值范围为________
（2）（几何证明选讲）如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆上，CD⊥AB，垂足为D，且AD=5DB，设∠COD=θ，则tanθ的值为________．
（3）（坐标系与参数方程）圆O1和圆O2的极坐标方程分别为ρ=4cosθ，ρ=-4sinθ，则经过两圆圆心的直线的直角坐标方程为________．
解：（1）∵函数f（x）的定义域为R，∴|x-1|+|x-5|-a＞0对于x∈R恒成立，
而|x-1|+|x-5|-a＞0对于x∈R恒成立?a＜（|x-1|+|x-5|）min．
令g（x）=|x-1|+|x-5|=
，可知g（x）min=4，∴a＜4．
（2）连接AC，BC，∵AB是圆O的直径，∴AC⊥BC，又∵CD⊥AB，∴CD2=AD×DB，
∵AD=5DB，∴CD2=5DB2，∴
．
∵r=
=3DB，∴OD=r-DB=2DB．
在Rt△OCD中，
=
=
．
（3）圆O1的极坐标方程ρ=4cosθ可以化为ρ2=4ρcosθ，∴x2+y2=4x，∴（x-2）2+y2=4，∴圆心O1（2，0）；
圆O2的极坐标方程ρ=-4sinθ可化为ρ2=4ρsinθ，∴x2+y2=4y，配方得x2+（y-2）2=4，∴圆心O2（0，2）．
∴经过两圆圆心的直线的直角坐标方程为
，即y=x+2．
故答案分别为（-∞，4），，y=x+2．
分析：（1）原问题?a＜（|x-1|+|x-5|）min，通过分类讨论求出其最小值即可；
（2）利用圆的性质、射影定理及正切函数的定义即可得出；
（3）利用极坐标与直角坐标的互化公式、圆的标准方程及点斜式即可得出．
点评：把问题正确等价转化，熟练掌握分类讨论的方法、圆的性质、射影定理及正切函数的定义、极坐标与直角坐标的互化公式、圆的标准方程及点斜式是解题的关键．
而|x-1|+|x-5|-a＞0对于x∈R恒成立?a＜（|x-1|+|x-5|）min．
令g（x）=|x-1|+|x-5|=
，可知g（x）min=4，∴a＜4．（2）连接AC，BC，∵AB是圆O的直径，∴AC⊥BC，又∵CD⊥AB，∴CD2=AD×DB，
∵AD=5DB，∴CD2=5DB2，∴
．∵r=
=3DB，∴OD=r-DB=2DB．在Rt△OCD中，
==．（3）圆O1的极坐标方程ρ=4cosθ可以化为ρ2=4ρcosθ，∴x2+y2=4x，∴（x-2）2+y2=4，∴圆心O1（2，0）；
圆O2的极坐标方程ρ=-4sinθ可化为ρ2=4ρsinθ，∴x2+y2=4y，配方得x2+（y-2）2=4，∴圆心O2（0，2）．
∴经过两圆圆心的直线的直角坐标方程为
，即y=x+2．故答案分别为（-∞，4），
，y=x+2．分析：（1）原问题?a＜（|x-1|+|x-5|）min，通过分类讨论求出其最小值即可；
（2）利用圆的性质、射影定理及正切函数的定义即可得出；
（3）利用极坐标与直角坐标的互化公式、圆的标准方程及点斜式即可得出．
点评：把问题正确等价转化，熟练掌握分类讨论的方法、圆的性质、射影定理及正切函数的定义、极坐标与直角坐标的互化公式、圆的标准方程及点斜式是解题的关键．
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