Question

选做题（请考生在以下三个小题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评阅记分）
A．（选修4-4坐标系与参数方程）若M，N分别是曲线ρ=2cosθ和ρsin(θ-

π

4

)=

2

2

上的动点，则M，N两点间的距离的最小值是

2

-1

．
B．（选修4-5 不等式选讲）若不等式|x+

1

x

|＞|a-2|+1对于一切非零实数x均成立，则实数a的取值范围为

1＜a＜3

．
C．（选修4-1 几何证明选讲）（几何证明选做题）如图，圆O的割线PBA过圆心O，弦CD交AB于点E，且△COE～△PDE，PB=OA=2，则PE的长等于

3

．

Answer 1

分析：A、可以先将极坐标方程化为直角坐标方程，M、N是直线与圆上的两个动点，最小距离为圆心到直线的距离减去半径即可；
B、利用绝对值以及基本不等式求出|x+

1

x

|的范围，表达式转化为关于a的绝对值不等式，求出a的范围．
C、由已知中OA=2，我们可得圆的半径为2，由相交弦定理及三角形相似的性质，我们可以得到AF•BF=OF•PF，结合PB=OA=2，求出BF长，进而即可求出PF的长．

解答：解：A、曲线ρ=2cosθ和ρsin(θ-

π

4

)=

2

2

可化为直角坐标方程为：x-y+1=0与（x-1）²+y²=1
∴M、N在直线与圆心（1，0）半径为1的圆上
圆心（1，0）到直线的距离d=

|2|

2

=

2

∴M，N两点间的距离的最小值dmin=

2

-1 
故答案为：

2

- 1
B、∵|x+

1

x

|≥2，∴|a-2|+1＜2，
即|a-2|＜1，解得1＜a＜3．
实数a的取值范围为：（1，3）；
故答案为：1＜a＜3．
C、∵PB=OA=2，
∴OC=OB=2
由相交弦定理得：DF•CF=AF•BF
又∵△COF∽△PDF，
∴DF•CF=OF•PF
即AF•BF=OF•PF
即（4-BF）•BF=（2-BF）•（2+BF）
解得BF=1
故PF=PB+BF=3
故答案为：3．

点评：本题考查极坐标与直角坐标之间的转化，点到直线的距离，绝对值不等式的解法，恒成立问题的成立方法，以及圆与三角形相关知识．画出计算能力，转化思想．