题目内容
【题目】在如图所示的多面体中, 平面
,
,
,
,
,
,
,
是
的中点.
(Ⅰ)求证: ;
(Ⅱ)求平面 与平面
所成锐二面角的余弦值.
【答案】解:(Ⅰ)∵ 平面
,
平面
,
平面
,
∴ ,
.又
,
∴ ,
,
两两垂直.
以点 为坐标原点,
,
,
分别为
轴,
建立空间直角坐标系,
由已知得, ,
,
,
,
,
,
∴ ,
.
∴ ,∴
.
(Ⅱ)由已知得 是平面
的法向量,
设平面 的法向量为
,
∵ ,
,
∴ ,即
,令
,得
,
设平面 与平面
所成锐二面角的大小为
,
则
.
∴平面 与平面
所成锐二面角的余弦值为
.
【解析】(1)根据题意即可证明EB、EF、EA两两垂直以点E为坐标原点EB、EF、EA分别为x、y、z轴,建立空间直角坐标系用坐标表示点与向量进而得到即可得证 B D ⊥ E G 。(2)根据题意建立空间直角坐标系,求出各个点的坐标进而求出各个向量的坐标,设出平面DEF和平面DEG的法向量,由向量垂直的坐标运算公式可求出法向量,再利用向量的数量积运算公式求出余弦值即可。

【题目】心理学家分析发现视觉和空间能力与性别有关,某数学兴趣小组为了验证这个结论,从兴趣小组中按分层抽样的方法抽取 名同学(男
人,女
人),给所有同学几何题和代数题各一题,让各位同学只能自由选择其中一道题进行解答.选题情况如下表(单位:人):
几何题 | 代数题 | 总计 | |
男同学 | 22 | 8 | 30 |
女同学 | 8 | 12 | 20 |
总计 | 30 | 20 | 50 |
几何题 | 代数题 | 总计 | |
男同学 | 22 | 8 | 30 |
女同学 | 8 | 12 | 20 |
总计 | 30 | 20 | 50 |
附表及公式:
(1)能否据此判断有 的把握认为视觉和空间能力与性别有关?
(2)现从选择做几何题的 名女生中,任意抽取两人,对她们的答题情况进行全程研究,记甲、乙两位女生被抽到的人数为
,求
的分布列和
.