题目内容
【题目】已知 ,直线 的斜率之积为 .
(Ⅰ)求顶点 的轨迹方程 ;
(Ⅱ)设动直线 ,点 关于直线 的对称点为 ,且 点在曲线 上,求 的取值范围.
【答案】解:(Ⅰ)设动点M(x,y),则M(x,y)满足:
C: ,
又 ,所以 ,
故答案为:M点的轨迹方程C是: .
(Ⅱ)由题意,设点 ,由点 关于直线 的对称点为 ,
则线段 的中点 的坐标为 且 .
又直线 的斜率 ,故直线 的斜率 ,
且过点 ,所以直线 的方程为: .
令 ,得 ,
由 ,得 ,
则 , ,
又 ,当且仅当 时等号成立,
故答案为:m的取值范围为 或
【解析】(1)设动点M的坐标为(x,y),利用斜率之积已知,结合斜率公式得到关于点M的坐标的方程即为所求.
(2)由于点PQ关于直线l对称,可将PQ中点D的坐标用点P的坐标表示出来,同时将直线l的斜率也表示出来,即将直线l的方程用点P的坐标不表示,令x=0,将m表示为点P的坐标的函数式,用均值不等式求最值.